aturan rantai

Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita dalam mencari turunan suatu fungsi.

Contoh ambil fungsi $f(x)=(x^{2}+2x+1)^{2}$ maka dengan menggunaka aturan rantai diperoleh turunannya adalah $f(x)=2(x^{2}+2x+1)(2x+2)$

Lihat betapa mudahnya hidup dengan aturan rantai.

Nah..sekarang saya akan membuktian aturan tersebut

Diberikan fungsi $f$ dan $g$ dimana $g$ terturun differentiable pada titik $x$ dan $f$ terturun differentiable pada titik $y$ dengan $y=g(x)$ Kita akan menghitung turunan dari fungsi komposisi $f(g(x))$ ditik $x$ , dengan kata lain kita mau menghitung

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(g(x+h)-f(g(x))}{h}$

Jawabannya merupakan bukti dari

$\frac{d(f\circ g)(x)}{dx}=(f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(x)g'(x)$

yang kita sebut sebagai aturan rantai chain rule

Diketahui $g(x)$ terturun pada titik $x$ artinya nilai $g'(x)$ ada dan menurut definisi turunan diperoleh

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)$

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-g'(x)=0$

Kita definisikan variabel $v$ dimana

$v=\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-g'(x)$

bisa kita lihat nilai $v$ tergantung dari nilai $h$ jika $h\rightarrow0$ maka $v\rightarrow0$

Dengan cara yang sama diketahui $f(x)$ terturun dititik $y=g(x)$ , menurut definisi turunan diperoleh

$\underset{k\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(y+k)-f(k)}{k}=f'(y)$

$\underset{k\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(y+k)-f(k)}{k}-f'(y)=0$

Kita definisikan variabel $w$ dimana

$w=\frac{f(y+k)-f(y)}{k}-f'(y)$

bisa kita lihat juga jika $k\rightarrow0$ maka $w\rightarrow0$

Dari definisi $v$ dan $w$ diperoleh

$g(x+h)=g(x)+[g'(x)+v]h$

$f(y+k)=f(y)+[f'(y)+w]k$

Dari persamaan diatas jika $f(g(x+h))$ diperoleh

$f(g(x+h))=f(g(x)+[g'(x)+v]h)$

Nah sekarang ambil $k=[g'(x)+v]h$ dan $y=g(x)$ , jika $h\rightarrow0$ maka $k\rightarrow0$ diperoleh

$f(y+k)=f(g(x))+[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]h$

selanjutnya kita peroleh

$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\frac{f(g(x))+[f'(g(x))+w]\bullet[g(x)+v]h-f(g(x))}{h}$

$=\frac{[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]h}{h}$

$=[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]$

Sekarang kita siap menghitung turunan

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\underset{h\rightarrow0}{Lim}\,[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]$

$=(\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, f'(g(x))+\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, w)(\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, g'(x)+\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, v)$